5.3Definicion de Nucleo e Imagen de transformacion Lineal

Si T: V \rarr W es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:

\operatorname{Ker}(T)=\{\,x\in V:T(x)=0_W\,\}

* Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

* El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:

1. 0_V \in Ker(T) dado que \operatorname {T}(0_V) = 0_W

2. Dados u , v \in Ker(T) : T(u+v) = T(u) + T(v) = 0_W + 0_W = 0_W \Rightarrow u + v \in Ker(T)

3. Dados u \in Ker(T) \and k \in \real : T(ku) = k T(u) \and T(ku) = k 0_W = 0_W \Rightarrow ku \in Ker(T)

* Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad(T) = dim(Ker(T))

\operatorname{Im}(T) = \left\{y/y \in W \and \exists x \in V / (x,y) \in T\right\}

* O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.

* La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.

* El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

rg(T) = dim(Im(T))

Núcleo e Imagen son subespacios

La propiedad fundamental del núcleo y del contra dominio es que ambos son espacios vectoriales:

Teorema

Sea T: V → W una transformación lineal. Entonces

Ker(T) es un subespacio de V .

R(T) es un subespacio de W.

Demostración

El núcleo de T es subespacio

Sean v1 y v2 elementos del núcleo de T y c un escalar cualquiera. As´ı T(v1) = 0 = T(v2), y por tanto:

T(c1 v1 + c2 v2) = c1 T(v1) + c2 T(v2) = c1 0 + c2 0 = 0

probando que c1 v1 + c2 v2 esta también en el núcleo de T. Lo cual a su vez prueba que el núcleo de T es un

subespacio de V .

La imagen de T es subespacio

Sean w1 y w2 elementos de la imagen de T y c un escalar cualquiera. As´ı T(v1) = w1 y T(v2) = w2 para

algunos v1 y v2 en V , y por tanto:

T (c1 v1 + c2 v2) = c1 T (v1) + c2 T (v2) = c1 w1 + c2 w2

Probando que c1 w1 + c2 w2 es imagen de c1 v1 + c2 v2 y por consiguiente c1 w1 + c2 w2 esta también en la

Imagen de T. Lo cual a su vez prueba que la imagen de T es un subespacio de W