5.4 La Matriz de una transformacion Lineal

Matriz de una Transformación Lineal

Sea T : V ! W una transformación lineal entre dos espacios vectoriales V y W de dimensiones finitas.

Sea B = {v1, . . . , vn} una base de V y B

′

= {v1

′

, . . . , vn

′

} una base de W.

La matriz A m × n cuyas columnas son:

[T(v1)]B

′ , . . . , [T(vn)]B

′

Es la ´única matriz que satisface

[T(~v)]B′ = A[~v]B

Para todo ~v 2 V .

Definición 23.1

La matriz A de la afirmación anterior se llama matriz de T con respecto a B y a B′.

Si V = W y B = B

Operativa del Trabajo con Transformaciones
Lo que afirma el siguiente resultado es que para trabajar con una transformaci´on lineal (N´ucleo, subsepacios,
o imagen) es equivalente a trabajar con la matriz de la transformaci´on.
Teorema
Sea T : V!W una transformaci´on lineal entre dos espacios vectoriales de dimensiones finitas, V y
W. Sea A la matriz de T con respecto a las bases B = {v1, ...vn}  V y B
′
= {v1
′
, ..., vm
′
}  W.
Entonces,
~v est´a en el n´ucleo de T si y s´olo si [v]B est´a en el espacio nulo de A. Es decir, A[v]B = 0.
~w est´a en el contradomio de T si y s´olo si [w]B
′ se encuentra en el espacio de columnas de A.
Es decir, Ax = [w]B′ es consistente.
T es biun´ıvoca si y s´olo si la reducida de A tiene n pivotes.
T es sobre si y s´olo si la reducida de A tiene m pivotes.
T es un isomorfismo si y s´olo si A es invertible.