5.2 Ejemplo de transformacion lineal

Sea 0 ≤ θ <>

Usando las funciones trigonométricas, tenemos que:

v1 = ||T (ū)|| • cos (α + θ) = ||ū|| • (cos α cos θ - sen α sen θ)

v2 = ||T (ū)|| • sen (α + θ) = ||ū|| • (sen α cos θ + cos α sen θ)

Como u1 = ||ū|| = cos α y u2 = ||ū|| = sen α se obtiene:

v1 = u1 cos θ – u2 sen θ

v2 = u2 cos θ – u1 sen θ

Por lo tanto la Transformación T : R2 ―› R2 debe estar definida tal que:

T (u1, u2) = (u1 cos θ – u2 sen θ, u2 cos θ – u1 sen θ).

Esta transformación se llama la rotación por un ángulo θ y es lineal, ya que:

T [(u1, u2) + γ(v1, v2)] = T (u1 + γv1, u2 + γv2)

= ((u1 + γv1) cos θ – (u2 + γv2) sen θ, (u2 + γv2) cos θ + (u1 + γv1) sen θ)

=(u1 cos θ - u2 sen θ, u2 cos θ + u1 sen θ)+(v1 cos θ - v2 sen θ, v2 cos θ + v1 sen θ)

= T (u1, u2) + γT (v1, v2)

Transformación de Reflexión:

La Transformación de T : R2 ―› R2 que a cada vector ū = (u1, u2) lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector T (ū) = (v1, v2).

En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde T queda definida como sigue:

T (u1, u2) = (u1, -u2)

Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:

T [(u1, u2) + γ(v1, v2)] = T (u1 + γv1, u2 + γv2) = (u1 + γv1, -u2 -γv2)

= (u1, -u2) + γ(v1, -v2) = T (u1, u2) + γT (v1, v2)