miércoles, 28 de octubre de 2009

4.1 DEFINICION DE ESPACIO VECTORIAL Y SUS PROP.

Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: escalarse (multiplicarlos por un escalar) y sumarse. Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión.

Definición formal [editar]

La definición de un espacio vectorial requiere de un cuerpo de escalares K (como el cuerpo de los números reales o el cuerpo de los números complejos). Un espacio vectorial es un conjunto V (no vacío) a cuyos elementos se llaman vectores, dotado de dos operaciones:

  • suma de vectores: cualquiera dos vectores v y w pueden sumarse para obtener un tercer vector v + w
  • producto por un escalar: cualquier vector v puede multiplicarse por un escalar, i.e. un elemento de K, a. El producto se denota como av.

que satisfacen las siguientes propiedades o axiomas (u, v, w son vectores arbitrarios de V, y a, b son escalares, respectivamente):

Propiedad

Significado

Propiedad asociativa de la suma

u + (v + w) = (u + v) + w

Propiedad conmutativa de la suma

v + w = w + v

Existencia de elemento neutro o nulo de la suma

Existe un elemento 0 V, llamado vector cero o nulo, de forma que v + 0 = v para todo v V.

Existencia de elemento opuesto o simétrico de la suma

Para todo v V, existe un elemento -v V, llamado opuesto de v, de forma que v + (-v) = 0.

Propiedad distributiva del producto por un escalar respecto a la suma de vectores

a (v + w) = a v + a w

Propiedad distributiva del producto por un vector respecto a la suma de escalares

(a + b) v = a v + b v

Propiedad asociativa mixta del producto por un escalar

a (b v) = (ab) v[nb 1]

Existencia de elemento unidad del producto por un escalar

1 v = v, donde 1 es la identidad multiplicativa en K

Con esta definición puede comprobarse que R2, con la suma y producto vistos arriba, es por tanto un espacio vectorial. Comprobar los axiomas se reduce a verificar identidades sencillas .

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