3.7 INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA

Definición: Una matriz cuadrada se llama matriz identidad si todos los componentes de su diagonal principal son iguales a uno y todos los demás componentes que no están en la diagonal principal son iguales a cero. La matriz identidad se representa con la letra I (la letra i mayúscula).


Definición: Sea A una matriz cuadrada n x n. Entonces una matriz B es la inversa de A si satisface A ∙ B = I y B ∙ A = I, donde I es la matriz identidad de orden n x n.

Ejemplo para discusión:



Notas:

La inversa de A se representa por A-1. Así que A ∙ A-1 = A-1 ∙ A = I.
No toda matriz cuadrada tiene una inversa.
Si A tiene inversa, entonces decimos que A es invertible.

Teoremas:

Sea A una matriz cuadrada n x n, entonces AI = IA = A.
Si A es una matriz invertible, entonces A-1 es invertible y (A-1)-1 = A.
Si una matriz cuadrada A es invertible, entonces la inversa es única.
Sean A y B matrices de orden n x n invertibles. entonces AB es invertible y (AB)-1 = B-1A-1.

Para hallar la inversa de una matriz cuadrada comenzamos con la matriz A/I, donde I representa la matriz identidad del mismo orden que la matriz A. Efectuamos operaciones elementales con las filas de A/I hasta que la matriz A se transforme en la matriz identidad I. Luego la matriz que contiene los componentes a la derecha de la línea vertical es la inversa de A, esto es, A-1.

Ejemplo (para discusión): Halla A-1 si existe para cada una de las siguientes matrices:

3.6 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

1.At= A
El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.


2. A=0 Si:
Posee dos líneas iguales

Todos los elementos de una línea son nulos.

Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.

F3 = F1 + F2
3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal..

4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.

5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.

6. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.

7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

8. A·B =A·B
El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

3.5 DEFINICION DE UNA DETERMINANTE

Notación matemática formada por una tabla cuadrada de números, u otros elementos, entre dos líneas verticales; el valor de la expresión se calcula mediante su desarrollo siguiendo ciertas reglas. Los determinantes fueron originalmente investigados por el matemático japonés Seki Kowa alrededor de 1683 y, por separado, por el filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhhelm Leibniz alrededor de 1693. Esta notación se utiliza en casi todas las ramas de las matemáticas y en las ciencias naturales.
El símbolo es un determinante de segundo orden, pues es una tabla con dos filas y dos columnas; su valor es, por definición, a11a22 - a12a21. Un determinante de orden n-ésimo es una tabla cuadrada con n filas y n columnas como se muestra en la figura:
El adjunto menor, Mij, de un elemento cualquiera aij de la tabla es el determinante formado por los elementos restantes al eliminar la fila i y la columna j en las que aparece el elemento aij. El cofactor, Aij, de un elemento aij es igual a (-1)i+jMij.
EVALUNACION DE UN DETERMINANTE
El valor de un determinante se puede expresar usando los elementos de una fila (o columna) y sus respectivos cofactores; la suma de estos productos es el valor del determinante. Formalmente, esto se expresa como
si el desarrollo se hace en función de la fila i, o
si se hace en función de la columna j. De esta manera, para calcular el valor de un determinante de tercer orden utilizando los elementos de la primera columna
Estos términos se evalúan a su vez utilizando la definición dada anteriormente para el determinante de segundo orden.
Para determinantes de orden superior al tercero, el proceso se repite para los determinantes formados por los adjuntos menores, hasta llegar a determinantes que puedan desarrollarse fácilmente.
Este método de cálculo del valor de un determinante puede ser bastante laborioso, por lo que se utilizan ciertas propiedades de los determinantes para reducir la cantidad de cálculos necesarios. Entre estas propiedades, tenemos las siguientes:
1) Un determinante es igual a cero si todos los elementos de una fila (o columna) son idénticos, o proporcionales, a los elementos de otra fila (o columna).
2) Si todos los elementos de una fila (o columna) se multiplican por un factor dado, el determinante queda multiplicado por dicho factor.
3) El valor de un determinante no se altera si se añade a cada elemento de una fila (o columna) el elemento correspondiente de otra fila (o columna) multiplicado por un factor constante.

APLICACIONES
Una aplicación de los determinantes en la geometría analítica se muestra en el siguiente ejemplo: Si P1(x1, y1), P2(x2, y2), y P3(x3, y3) son tres puntos distintos en un plano de coordenadas cartesianas, el área A del triángulo P1P2P3, ignorando el signo algebraico, está dada por
Si los tres puntos son colineales, el valor del determinante es cero.
Los determinantes se utilizan también para resolver sistemas de ecuaciones de la siguiente manera. Las n ecuaciones a resolver se representan algebraicamente como
Se construye un determinante, Ä, utilizando estos coeficientes, y siendo Äk el determinante que se obtiene al eliminar la columna k y sustituirla por la columna de las constantes b1, b2, ... bn. Si Ä " 0 las ecuaciones son consistentes y es posible encontrar una solución. Ésta está dada por
Si Ä = 0, es necesario investigar las razones para averiguar el número y la naturaleza de las soluciones.
Este es un ejemplo numérico. Dados:2x1 + 3x2 + 4x3 = 6, x1 + x2 + x3 = 3 y x1 - x2 + x3 = -1, entonces tenemos que x1 = Ä1 / Ä = 2. Si construimos Ä 2 y Ä3 el resultado es x2 = 2 y x3 = -1.

3.4 INVERSA DE UNA MATRIZ

Dada una matriz cuadrada A, si existe otra matriz B del mismo orden que verifique: A . B = B . A = I ( I = matriz identidad ), se dice que B es la matriz inversa de A y se representa por A-1.
Si existe la matriz inversa de A, se dice que la matriz A es inversible o regular. En caso contrario, se dice que la matriz A es singular.
¿Cuándo tiene inversa una matriz? Una matriz A de orden n (n filas y n columnas) tiene inversa cuando su rango es n, es decir, cuando el rango de dicha matriz coincide con su orden, o también, cuando su determinante sea distinto de cero.
¿Cómo se puede calcular la inversa de una matriz? Básicamente hay tres procedimientos para calcular la inversa de una matriz. Son los siguientes:
1º Aplicando la definición y resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes. Resulta muy laborioso cuando el orden de la matriz es superior a 2 (descrito en el tema de matrices).
2º Por el método de Gauss (descrito en el tema de matrices).
3º Por determinantes y adjuntos, que desarrollaremos a continuación.

CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTES Y ADJUNTOS
La condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada A tenga inversa (A-1) es que su determinante sea distinto de cero. En este caso, para calcularla, se divide la traspuesta de su adjunta entre el determinante de la matriz dada, es decir:

3.3 CLASIFICACION DE LAS MATRICES

MATRICES TRIANGULARESSi en una matriz cuadrada es:aij = 0 , "i esmenor que jse dice que la matriz es triangular superior.La que sigue es una matriz triangular superior de orden 4:
Si en una matriz cuadrada es:aij = 0 , "i>jse dice que la matriz es triangular inferior.La que sigue es una matriz triangular inferior de orden 4:

MATRIZ DIAGONALSe llama matriz diagonal a toda matriz que es simultáneamente triangular superior y triangular inferior.Es inmediato que, en una matriz diagonal, esaij = 0 , "i¹j .El siguiente es un ejemplo de matriz diagonal:

MATRIZ ESCALAR
Se llama matriz escalar a toda matriz diagonal en la que:d11=d22=d33= ... = dii= k , siendo k un escalar.Este es un ejemplo de matriz escalar:
La matriz inversa
Sabemos ya multiplicar matrices y hemos visto algunas de las propiedades de esta operacion.Recordemos, en primer lugar, que no siempre es posible efect´uar la multiplicacion de dos matrices, y en segundo lugar, que aunque sea posible hacer esta multiplicacion, en general no es conmutativo, es decir A·B es distinto de B·A.En el caso particular de que tratemos con matrices cuadradas del mismo orden A y B, es claro que podemos efectuar los productos A·B y B·A, que daran como resultado otra matriz del mismo orden, aunque, como ya se ha dicho, las matrices resultantes seran, en general, distintas.Sabemos tambien que el elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad In.Por analogıa con el caso de los numeros reales, podemos plantearnos la siguiente cuestion:Si tenemos un numero real, por ejemplo el 2, podemos interesarnos en buscar el inverso del 2 para el producto, es decir un n´umero real x tal que 2·x = 1, el producto de 2 por x sea igual al elemento neutro, el 1.Evidentemente, en el caso de los n´umeros reales es bien facil despejar x para obtener, en nuestro caso, que x = 1/2, es decir, el inverso de un numero real es otro numero que multiplicado por el da el elemento neutro, el 1.Todo numero real, salvo el 0, tiene inverso.Trasladando esto a las matrices, nos podemos plantear si dada una matriz cuadrada A de orden n, cualquiera, existe su inversa X para el producto de matrices,tal queA ・ X = Ines decir, el producto de A por su inversa produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad In.Sin embargo, hay algunas diferencias con respecto al caso de los numeros reales:1) No podemos “despejar” la matriz X del modo X = In /A , porque no hemos definido la division de matrices.2) No todas las matrices cuadradas no nulas tienen matriz “inversa” (sea lo que sea, por analogıacon los numeros).Definamos, en primer lugar, el termino de matriz inversa:Dada una matriz cuadrada de orden n , A, se dice que A es invertible (o que posee inversa o que es no singular o que es regular ), si existe otra matriz del mismo orden, denominada matriz inversa de A y representada por A−1 y tal que:A ・ A−1 = In y A−1 ・ A = InSi A no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible.

3.2 OPERACIONES CON MATRIZES

Operaciones con Matrices

Una matriz es un arreglo de los coeficientes constantes de un sistema de ecuaciones lineales.
Para el acomodo de dichos coeficientes se toma como filas y columnas, y las coordenadas o lugares donde se encuentran cada cantidad se empiezan a numerar desde 1,1 o sea, fila 1, columna 1.

Las matrices pueden ser cuadradas o rectangulares, son cuadradas cuando el numero de filas y columnas es el mismo, y son rectangulares cuando son diferentes.



Suma de matrices

La unica regla que hay para la suma de matrices es que ambas tienen que tener el mismo numero de filas y de columnas, y no importa si son rectangulares o cuadradas.

Lo que se hace es sumar cada posicion de una matriz con la misma de la otra, por lo que la matriz resultante es una con el mismo numero de filas y columnas que las demas y cuyos valores son la suma de los valore de las otras 2 matrices.

Por ejemplo: = +


Como se puede ver, la matriz resultante tiene en su posicion 1,1 la suma de la posicion 1,1 de la primera matriz mas la 1,1 de la segunda, y asi se van poniendo todas las sumas de las posiciones, y es todo lo que hay que decir acerca de la suma de matrices.



Resta de matrices

La unica regla que hay para la resta de matrices es que ambas tienen que tener el mismo numero de filas y de columnas, y no importa si son rectangulares o cuadradas.

Lo que se hace es restar cada posicion de una matriz con la misma de la otra, por lo que la matriz resultante es una con el mismo numero de filas y columnas que las demas y cuyos valores son la resta de los valore de las otras 2 matrices.

Por ejemplo: = -
El proceso es identico al de la suma, solo que aqui se restan las posiciones, por eso la matriz resultante en su posicion 1,1 tiene la resta de la posicion 1,1 de la primer matriz menos la 1,1 de la segunda.

Multiplicacion de matrices

La multiplicacion de matrices es un poco mas complicada.

La regla aqui es que el numero de columnas de la primera matriz sea igual al numero de filas de la segunda, esto es, que se puede hacer una multiplicacion de una matriz 2x3 por una de 3x5, y la matriz resultante tiene el numero de filas de la primer matriz y las columnas de la segunda, por lo que quedaria una matriz de 2x5.

Ademas, a diferencia de la suma y la resta, la multiplicacion no es posicion por posicion, sino que se hace de la siguiente manera:
Se toma la primera fila de la primer matriz y la primer columna de la segunda matriz, y lo que se hace es multiplicar una posicion de fila por una de columna: = X
En el ejemplo de arriba se multiplica una matriz de 2x3 por una de 3x1, y se toma la primera fila de la primer matriz, o sea 2,4,6 y la primer columna de la otra, o sea -5,-7,6, y la resultante toma las filas de la primera, o sea 2 y las columnas de la segunda, o sea 1, y quedan 2 lugares solamente.
Se llenan haciendo la multiplicacion (2x-5) + (4x-7) + (6*6) o sea posicion de fila por posicion de columna.
Despues si la segunda matriz tuviera mas columnas, se pasa a la siguiente, y sin cambiar de fila en la primera se vuelve a hacer la multiplicacion y las sumas hasta que se acaben las columnas de la segunda matriz.
Ya que se acabaron las filas de la segunda, se pasa a la siguiente fila en la primera y se empieza de nuevo: (-1x-5) + (3x-7) + (9x6) y se pone en el segundo lugar de la matriz, en este caso el unico que queda, pero si hubiera mas columnas se va llenando hasta que se completen las columnas y luego se baja a la siguiente fila.

Asi se sigue hasta que se acaben las filas de la primer matriz.

3.9 SOLUCION DE ECUACIONES REGLA DE CRAMER

La regla de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes:

El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer.

Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes.

Y sean:

Δ ₁, Δ ₂ , Δ ₃ ... , Δ _n

los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna , en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.

Un sistema de Cramer tiene una sola solución que viene dada por las siguientes expresiones:

Ejemplo